A lógica matemática foi desenvolvida e estudada com o objetivo, inicialmente, de estruturar o pensamento objetivando um raciocínio correto em relação ao que podia ser observado, comprovado e compreendido. Sabe-se que esta ciência já estudada há pelo menos 500 a.C., com Parmênides (530 a 460 a.C.) e Platão (404 a 347 a.C.), mas foi Aristóteles (384 a 322 a.C.) quem aperfeiçoou o estudo da lógica por meio dos silogismos. Foi em meados do século XIX, porém, que a lógica matemática foi amplamente estudada, recebendo influência dos fundamentos matemáticos e da ciência da computação teórica.
Podemos dividir a lógica em duas partes: lógica informal e lógica formal.
- Lógica informal: é a parte da lógica que não depende de certos padrões e símbolos para expor seus argumentos ou para tentar justificá-los. Este tipo de lógica é encontrada em textos jornalísticos, revistas científicas, livros didáticos, etc. Apesar dos escritores, redatores e editores apresentarem suas teses ou argumentos baseados em fatos, ou em fatos percebidos pelos mesmos, não há garantia quanto a validade dos argumentos. Para isso pesquisas e conhecimentos gerais contribuem para melhor leitura e entendimento dos fatos e argumentos.
- Lógica formal: pode-se dizer que é a racionalização, ou formalização da lógica informal, com a conversão de suas proposições ou argumentos em estruturas e símbolos. Nessa parte da lógica é possível analisar as informações (em Verdadeiras (V) e falsas (F) por meio de sentenças declarativas, mais precisamente as proposições, e por meio de símbolos.
Proposição: é uma sentença declarativa, que apresenta uma declaração por meio de um conjunto de palavras ou símbolos, de sentido completo que pode ser considerada verdadeira (V) ou falsa (F). As proposições são representadas pelas letras p, q, r, ..., chamadas de letras proposicionais. Exemplos:
- p : A lua é o satélite natural da Terra (V);
- q : A lua é um planeta (F);
- q : 2 + 5 = 7 (V).
A lógica matemática adota três princípios (ou axiomas):
Frases imperativas ou interrogativas não são proposições. Exemplos:
- Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
- Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses dois casos, e não um terceiro;
- Princípio da identidade: toda proposição é igual a si mesma.
Frases imperativas ou interrogativas não são proposições. Exemplos:
- Que belo dia!
- Venha aqui!
- Que dia é hoje?
- x + 1 = 5
A sentença x + 1 = 5 não é uma proposição, pois ela é verdadeira para x = 4 e falsa para x = 5, o que contraria o princípio da não contradição.
Há dois tipos de proposições: proposições simples (ou atômicas) e proposições compostas (ou moleculares).
Proposição simples é a proposição que não contem nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma, e é representada por letra proposicional minúscula, por exemplo:
- p : A lua é o satélite natural da Terra.
Proposição composta é formada pela combinação de duas ou mais proposições, são representadas por letras proposicionais maiúsculas (P, Q, R, ...) e são combinadas com o uso de conectivos. Exemplo:
- P : Marcos é professor e Carlos é motorista;
- Q : Marcos é professor ou Carlos é motorista;
- R : Se Marcos é professor, então Carlos é motorista.
Os conectivos usuais em Lógica Matemática são:
"e", "ou", "ou... ou...", "não", "se... então...", "... se e somente se..."
que são representados, respectivamente, pelos símbolos:
Λ (conjunção), v (disjunção), v (disjunção exclusiva), ~ (negação), → (condicional), ↔ (bicondicional).
Na próxima postagem veremos o uso dos conetivos para análise dos valores verdadeiro (V) e falso (F), com o uso das tabelas verdades.
Autor: Professor Paulo Natanael
Referências Bibliográficas:
- Alencar Filho, Edgard de, 1913 - Iniciação à lógica matemática / Edgard de Alencar Filho - São Paulo : Nobel, 2002.
- http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
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