Introdução à Matemática Aplicada

A Matemática Aplicada é, logicamente, necessária a tudo que necessita ou que permite sua aplicação. Dentre o gigantesco universo da Matemática Aplicada, temos a Matemática aplicada a Administração, Biologia, Contabilidade, Farmácia e Economia. Essas cinco áreas, que estão entre as mais conhecidas, fazem parte do incrível e envolvente universo desta linha da Matemática.

No dia a dia aplicamos conceitos matemáticos simples em situações rotineiras como, por exemplo, na administração do saldo bancário.

Exemplo 01 (Saldo positivo):        Exemplo 02 (Saldo negativo):

Crédito: R$ 1.000,00                      Crédito:  R$ 1.000,00

Débito:   - R$ 700,00                      Débito: - R$ 1.100,00

Saldo:       R$ 300,00                      Saldo:      - R$ 100,00

Esse é um exemplo simples de aplicação matemática, e também pode ser compreendido da seguinte maneira:

C: Crédito

D: Débito

S: Saldo

Portanto,

S = C - D.

Refletindo...

x =  1.000 - 700 (Ex.1)     ou     x = 1.000 - 1.100 (Ex.2),
x = 300,00                         ou     x = - 100,00

sendo x = Saldo.

A aplicação matemática vai além das fronteiras de nossas próprias limitações; limitações, essas, adquiridas ao desconsiderar, ou não creditar a Matemática sua devida importância.

Um exemplo comum é a contagem de pessoas num grande evento de rua. Não é necessário contar um a um para saber do número de participantes; basta utilizar alguns conceitos matemáticos para se ter uma ideia da quantidade (aproximada) de pessoas, e a partir de então cada um (pedestre, jornalista, políticos etc.) pode tirar suas devidas conclusões e trabalhar na obtenção dos dados e informações desejadas.

Há um "universo matemático aplicado", onde problemas encontram suas devidas soluções; onde problemas são analisados, estruturados, organizados para obtenção de soluções ótimas, senão de valores aproximados, mesmo que não exatos, que nos levam a melhor, senão mais precisa compreensão da realidade.

Por Professor Paulo Natanael

Estatística (Noções básicas)

A Estatística é a ciência que permite obter dados ou informações sobre um conjunto (ou população) sem a necessidade de consultar todos os elementos deste conjunto (em grande parte dos casos).
Obs.: Essa é apenas uma das várias definições de Estatística.

Um exemplo clássico é a pesquisa de intenção de votos (ou pesquisa eleitoral). Os institutos de pesquisa calculam o percentual de eleitores, que pretendem votar em determinados candidatos, consultando apenas uma amostra (ou uma parte) da população. Essa técnica viabiliza a objetividade e velocidade na obtenção de dados, bem como atende aos interesses de parte da população, e dos meios de comunicação de saber o índice de aprovação de seus candidatos.

Amostra é um subconjunto de um conjunto ou população. Por exemplo, se num estado há 5 milhões de eleitores, para saber a intenção de voto dos mesmos, os institutos podem realizar a pesquisa com 2000 eleitores (caso hipotético).

Há informações ou dados que, para serem obtidos, é necessário consultar todo o conjunto populacional. Um exemplo disso é o CENSO feito pelo IBGE, onde toda a população brasileira é consultada (ou deve ser consultada). Esse tipo de pesquisa, porém, por ser de grande grande proporção, é mais demorada e mais analítica.

Dados:

Apos coletados, os dados podem aparecerem de forma desorganizada, ou seja, na forma de dados brutos. Uma solução básica é pegar esses dados e fazer um rol, que é uma forma de ordenar os dados na ordem crescente ou decrescente. Exemplo:

• Dados brutos:        3   7   2   0   9   1
• Rol (crescente):     0   1   2   3   7   9
• Rol (decrescente): 9   7   3   2   1   0

Conhecimentos básicos de esquemas matemáticos como a média, média ponderada, mediana e moda são essenciais para a iniciação à Estatística.

Por Professor Paulo Natanael

Introdução à Matemática Financeira

A Matemática Financeira tem por objetivo estudar a evolução do dinheiro ao longo do tempo.
Dentre as linhas de estudo da Matemática Financeira estão os juros, que é um valor cobrado por "confiar" um valor monetário a alguém ou, em contrapartida, um valor a ser pago por obter um empréstimo ou financiamento, isto é, o "custo da confiança" de quem emprestou.

Os juros (J) são calculados em função do capital aplicado ou investido (C), da taxa (i) e do tempo (t ou n).

Há dois tipos de juros: os juros simples e os juros compostos.

Juros simples:

É calculado sempre sobre o valor inicial.
Cálculo de juros simples pode ser feito por meio da fórmula

J = C.i.t

J: Juros
C: Capital
i: taxa (ou taxa de juros)
t: tempo

Exemplo:

1. Quanto rende de juros um capital de 1500 reais, durante 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juros simples?

J = ?;     C = R$ 1500,00;     i = 3% a.m.;     t = 5 meses.

J = C.i.t
J = 1500.0,03.5
J = 225,00

Juros compostos:

É calculado sempre sobre o valor do período anterior. É conhecido, popularmente, pela expressão "juros sobre juros".
O cálculo dos juros compostos pode ser feito por meio da fórmula do montante composto. Montante é a soma do capital (C) + juros (J), isto é,

M = C + J.

O montante composto pode ser obtido por meio da fórmula

M = C(1 + i)ⁿ

M: Montante
C: Capital
i: taxa (ou taxa de juros)
n: tempo

Os juros, portanto, podem ser encontrados subtraindo o capital (C) do montante (M), isto é,

J = M - C.

Exemplo:

1. Quanto rende de juros um capital de 1500 reais, durante 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juros compostos?

1º Calcule o montante:

M = C(1 + i)ⁿ

M = ?;     C = R$ 1500,00;     i = 3% a. m.;     n = 5 meses.

Sendo M = C(1 + i)ⁿ, temos

M = 1500(1 + 0,03)⁵

M = 1500.1,03⁵

M = 1500.1,159274

M = 1738,91

2º Calcule os juros:

Sabemos que J = M - C,

Portanto

J = 1738,91 - 1500

J = 238,91

Montante simples e montante composto:

As fórmulas para o cálculo dos montantes simples e composto estão abaixo:

Montante simples:

M = C(1 + in)

Montante composto:

M = C(1 + i)ⁿ

• Montante composto com as devidas convenções:

      - Convenção linear: M = C(1 + i)ⁿ(1 + (P/q)i)

      - Convenção linear: M = C(1 + i)^{n + P/q}

Conheça também a fórmula do Desconto Simples, geralmente utilizado em operações bancárias e financeiras de desconto de títulos:

Desconto Simples: D = N - A;     D = N.i.t;     A = N(1 - it)

Por Professor Paulo Natanael

Lógica Matemática

Estudar Raciocínio Lógico sem conhecimento da Lógica Matemática torna este estudo incompleto ou com ausência de informações relevantes para seu pleno entendimento.  

A lógica matemática foi desenvolvida e estudada com o objetivo, inicialmente, de estruturar o pensamento objetivando um raciocínio correto em relação ao que podia ser observado, comprovado e compreendido. Sabe-se que esta ciência já estudada há pelo menos 500 a.C., com Parmênides (530 a 460 a.C.) e Platão (404 a 347 a.C.), mas foi Aristóteles (384 a 322 a.C.) quem aperfeiçoou o estudo da lógica por meio dos silogismos. Foi em meados do século XIX, porém, que a lógica matemática foi amplamente estudada, recebendo influência dos fundamentos matemáticos e da ciência da computação teórica.

Podemos dividir a lógica em duas partes: lógica informal e lógica formal.

• Lógica informal: é a parte da lógica que não depende de certos padrões e símbolos para expor seus argumentos ou para tentar justificá-los. Este tipo de lógica é encontrada em textos jornalísticos, revistas científicas, livros didáticos, etc. Apesar dos escritores, redatores e editores apresentarem suas teses ou argumentos baseados em fatos, ou em fatos percebidos pelos mesmos, não há garantia quanto a validade dos argumentos. Para isso pesquisas e conhecimentos gerais contribuem para melhor leitura e entendimento dos fatos e argumentos.

• Lógica formal: pode-se dizer que é a racionalização, ou formalização da lógica informal, com a conversão de suas proposições ou argumentos em estruturas e símbolos. Nessa parte da lógica é possível analisar as informações (em Verdadeiras (V) e falsas (F) por meio de sentenças declarativas, mais precisamente as proposições, e por meio de símbolos.

Proposição: é uma sentença declarativa, que apresenta uma declaração por meio de um conjunto de palavras ou símbolos, de sentido completo que pode ser considerada verdadeira (V) ou falsa (F). As proposições são representadas pelas letras p, q, r, ..., chamadas de letras proposicionais. Exemplos:

• p : A lua é o satélite natural da Terra (V);
• q : A lua é um planeta (F);
• q : 2 + 5 = 7 (V).

A lógica matemática adota três princípios (ou axiomas):

• Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
• Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses dois casos, e não um terceiro;
• Princípio da identidade: toda proposição é igual a si mesma.

Frases imperativas ou interrogativas não são proposições. Exemplos:

• Que belo dia!
• Venha aqui!
• Que dia é hoje?

Sentenças abertas também não são proposições. Exemplo:

• x + 1 = 5

A sentença x + 1 = 5 não é uma proposição, pois ela é verdadeira para x = 4 e falsa para x = 5, o que contraria o princípio da não contradição.

Há dois tipos de proposições: proposições simples (ou atômicas) e proposições compostas (ou moleculares).

Proposição simples é a proposição que não contem nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma, e é representada por letra proposicional minúscula, por exemplo:

• p : A lua é o satélite natural da Terra.

Proposição composta é formada pela combinação de duas ou mais proposições, são representadas por letras proposicionais maiúsculas (P, Q, R, ...) e são combinadas com o uso de conectivos. Exemplo:

• P : Marcos é professor e Carlos é motorista;
• Q : Marcos é professor ou Carlos é motorista;
• R : Se Marcos é professor, então Carlos é motorista.

Os conectivos usuais em Lógica Matemática são:

"e", "ou", "ou... ou...", "não", "se... então...", "... se e somente se..."

que são representados, respectivamente, pelos símbolos:

Λ (conjunção), v (disjunção), v (disjunção exclusiva), ~ (negação), → (condicional), ↔ (bicondicional).

Na próxima postagem veremos o uso dos conetivos para análise dos valores verdadeiro (V) e falso (F), com o uso das tabelas verdades.

Autor: Professor Paulo Natanael

Referências Bibliográficas:

• Alencar Filho, Edgard de, 1913 - Iniciação à lógica matemática / Edgard de Alencar Filho - São Paulo : Nobel, 2002.
• http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica

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Professor Paulo Natanael